金融资产定价是古典金融的核心问题。金融资产定价理论的探索经历了从马科维茨的投资组合选择理论、夏普的资本资产定价模型(CAPM)、托宾的两基金分离定理、莫迪利阿尼和米勒的M-M定理、罗斯的套利定价理论(APT)到布

 金融资产定价是古典金融的核心问题。金融资产定价理论的探索经历了从马科维茨的投资组合选择理论、夏普的资本资产定价模型(CAPM)、托宾的两基金分离定理、莫迪利阿尼和米勒的M-M定理、罗斯的套利定价理论(APT)到布莱克-斯科尔斯期权定价理论的发展过程。在本文开始，我打算写一系列文章来梳理和总结金融资产定价的理论框架。内容相对学术性。作为本系列的第一部分，本文主要介绍了基本的无套利假设和线性定价规则。
 
 1介绍
 
 我们知道普通商品的价格是由消费者的需求和生产者的供给行为决定的。在新古典经济学的一般均衡理论框架下，理性消费者追求效用最大化，理性生产者追求利润最大化。根据商品消费边际效用递减规律和生产要素边际收益递减规律，可以推断出每个消费者的需求曲线向下倾斜，而每个生产者的供给曲线向上倾斜。假设所有消费者和生产者都遵循理性决策，那么将单个消费者的需求和单个生产者的供给分别求和，就可以得到商品的(斜向下)需求曲线和(斜向上)供给曲线，即市场价格越高，在相同的其他条件下需求越少，供给越多。市场的价格体系将调节需求和供给，需求和供给将在均衡状态下达到平衡，从而决定商品的均衡价格。
 
 然而，金融资产不同于普通商品。首先，金融资产不用于消费。投资者购买金融资产是为了在未来获得利润。其次，金融资产的未来价值通常是不确定的。对于金融资产来说，供求和资产价格之间不再有明显的单调关系，因为不同的投资者有不同的看法。例如，当资产价格上涨时，一些投资者认为价格会继续上涨，需求可能会增加，而当价格下跌时，一些投资者认为价格会进一步下跌，所以他们选择继续出售，供应可能反而会增加。金融市场的本质特征是未来的不确定性，这使得很难按照一般均衡理论框架对金融资产进行定价。
 
 因为达到一般均衡意味着市场上没有无风险套利机会，换句话说，没有套利机会与一般均衡框架相容。因此，学者们把无套利假设作为金融资产定价的出发点，从而摆脱了复杂的一般均衡框架。因此，他们建立了一套金融资产的相对定价理论，即通过对一部分(基本)资产的定价，将一部分(基本)资产定价为另一部分(衍生)资产。资产价格必须满足一定的均衡关系，以确保市场上没有套利机会。
 
 2资产定价问题的数学描述和基本假设
 
 考虑到金融资产定价的数学形式，我们假设市场上只有“当前”和“未来”时刻，“当前”是确定的，只有一个状态，“未来”是不确定的，有多个(或无限)状态。因此，资产的当前价值可以用精确的实数来表示，而资产的未来价值是不确定的，可以用随机变量来表征。对于未来只有有限状态的市场来说，也可以直接使用一维向量来表示资产的未来价值，而不用具体说明它们的概率。每个组成部分代表未来不同状态下的资产价值。资产当前价值形成的空间是实数空间r，市场中所有可能的未来价值形成的空间称为“或有债权空间”(Orient Claim space)。它被记录为M，并且M中的每个元素代表“或有债权”，其对应于市场中资产或组合的未来价值。因此，资产定价问题可以从数学上抽象为:在未定权益空间M和实数空间R之间建立一定的对应关系P: M → R，即所谓的“定价规则”。
 
 在这个框架下，我们需要引入两个基本假设来促进数学处理。
 首先，为了保证资产的定价，要求P是一个函数(P是严格意义上的函数)，也就是说，对于M中的任何元素，r中只有一个元素与之对应，换句话说，对于任何一个X，Y∈M，如果X=Y，那么P(X)=P(Y)。这样，我们引入了基本假设1:具有相同未来价值的资产目前应该具有相同的定价。
 
 其次，我们还要求定价函数p的域m和值域r都是线性空间。范围空间R本身是线性空间，这意味着任何资产组合的当前值等于资产组合的当前值。对于或有债权空间M，我们要求由任意X、Y∈ M、投资α x和β y组成的资产组合的未来价值z等于αX+βY，z当然也属于M，因此我们定义了或有债权空间M上的线性运算，它满足相应的交换定律、组合定律、分布定律等。，并且m接近线性运算，因此m形成线性空间，这意味着任何资产组合的未来价值等于资产未来价值的组合。这是我们需要介绍的基本假设2:在任何时候(“当前”或“未来”)，资产组合的价值等于资产组合的价值，即套利不能通过资产组合和分割进行。
 
 基本假设2通常是资产定价模型中常见的理性假设。这是我们使资产定价数学化的先决条件。基本假设2的建立确保了金融资产的价值(当前价值或未来价值)构成一个线性空间。
 
 基本假设1被称为“一价定律”，这是一种无套利假设。如果市场满足一个价格定律，那么相应的定价函数P是一个线性函数，这就是所谓的“线性定价规则”。但是，如果市场满足完全无套利假设，那么这个线性函数就是正线性函数，这是现代金融理论经典结果“资产定价基本定理”的核心内容。
 
 3第二阶段——有限状态模型
 
 我们考虑最简单的第二阶段——有限状态模型:
 
 在模型中，只有“当前”和“未来”两个时刻，“当前”是确定的，“未来”具有S(有限)不确定状态。因此，资产的未来价值可以用一维向量来表示。由市场中所有可能的未来价值组成的或有债权空间被表示为移动服务，这与服务是同构的。
 
 假设市场上有k种基本资产，它们的现值(或价格)是x10，x20，...，它们的未来值分别是x1，x2，...其中每个xi是一个s维向量，即Xi = (xi1，xi2，...K基础资产的所有未来价值可以表示为:
 
 金融资产定价理论系列(一):无套利假设和线性定价规则
 
 它是一个S×K矩阵，称为“偿付能力矩阵”。
 
 基于k种基本资产的投资组合由k维向量θ = (θ1，θ2，...，θK)T，投资组合的每个组成部分θi代表I类基本资产的投资额(θi可以是这里的任意实数，不一定是整数，θi可以是负数，即允许卖空)。θ可视为投资者当前的投资策略。由所有这些策略θ形成的线性空间θK称为“策略空间”，与RK同构。
 
 根据上一节的基本假设2，由策略θ形成的资产组合的当前价值为:
 
 V0(θ) = θ1x10 + θ2x20 + … + θKxK0
 
 它的未来价值是:
 
 V1(θ) = Xθ = θ1x1 + θ2x2 + … + θKxK
 
 因此，所有策略形成的投资组合的未来价值θ为:
 
 X(θK) = { y | y = Xθ，θ ∈ θK }
 
 显然，X(θK)是市场上K项基础资产未来价值所跨越的线性空间，被称为“可交易或有债权空间”。X(θK)是市场或有索赔空间ms的子空间，如果X(θK) = MS，则称之为完全市场，否则称之为不完全市场。
 
 到目前为止，我们已经建立了一个具有S状态和K基础资产的二期金融市场模型(MS，θK，X)，θK是市场或有债权空间(同构于RS)，θK是战略空间(同构于RK)，X是K基础资产的偿还矩阵。基于该模型，资产定价问题可以归结为:确定从s维线性空间MS到实空间r的定价函数p: MS → r
 
 4完全无套利假设
 
 基于上述第二阶段金融市场模型(MS，θK，X)，市场中套利机会的存在意味着存在策略θ ∈ θK，使得V0(θ) < 0，v1(θ) ="0(称为"第一次套利机会")，或者V0(θ) ≤ 0，V1(θ) "> 0(称为"第二次套利机会")。这里，V0(θ)是对应于策略θ和V1(θ) = (y1，y2，...yS)是其未来价值；V1(θ) = 0意味着每个分量yi等于0；V1(θ) > 0表示每个分量yi ≥ 0，至少一个分量yj > 0。
 
 完全无套利假设意味着市场上不存在上述两种套利机会。广义而言，市场上没有第一次套利机会的意思是:未来价值不大的资产现在价值不大；然而，市场上没有第二次套利机会，这意味着未来有价值的资产目前也很有价值。
 
 事实上，第一次套利机会也可以等价定义为:有两种投资策略θ1和θ2，它们形成的投资组合的未来价值相等，即V1(θ1) = V1(θ2)，而当前价值V0(θ1) < v0(θ2)或v0 (θ 1) = "> v0 (θ 2) (θ = θ1- θ2或θ2-θ1可以恢复到以前的定义)。因此，市场上没有第一次套利机会意味着，如果V1(θ1) = V1(θ2)，那么V0(θ1) = V0(θ2)，这是上一节提到的一个价格定律。因此，市场上没有第一次套利机会，相当于市场满足一个价格定律。
 
 接下来，我们基于第二阶段有限状态模型讨论了无套利假设与定价函数之间的关系。
 
 5一价定律和线性定价规则
 
 假设市场(MS，θK，X)满足一价定律，考虑到K种基础资产形成的可交易或有债权空间X(θK)，对于y ∈ X(θK)，y对应于某一策略形成的资产组合的未来价值θ = (θ1，θ2，...，θK)T，因此y = Xθ = θ1x1+θ2x2+…+θKxK，资产组合的当前值应为θ1x10+θ2x20+…+θKxK0，因此我们可以定义x (θ k)
 
 P(y) = P(θ1x1 + θ2x2 + … + θKxK)
 
 = θ1x10 + θ2x20 + … + θKxK0
 
 
 
 特别是，国王的基本资产本身包括:
 
 P(xi) = xi0，i = 1，2，..，k
 
 
 
 因此，对于y，z ∈ X(θK)，它们的线性组合αy+βz ∈ X(θK)，并且存在P(αy+βz) = αP(y)+βP(z)，因此上面定义的定价函数P是X(θK)到r的线性函数。
 
 
 
 基于有限维线性空间中线性函数的延拓定理，上述定价函数p可以推广到整个市场或有索赔空间ms .考虑到有限维线性空间中线性函数的一般形式，我们知道λ1，λ2，...，λ∈R存在，因此:
 
 P(y) = λ1y1 + λ2y2 + … + λsys。
 
 ∀y = (y1，y2，...，ys) ∈ MS
 
 
 
 当(MS，θK，X)是一个完整的市场时，这样的线性定价函数p是唯一的。
 
 
 
 另一方面，如果市场上存在与基本资产定价兼容的线性定价函数P: MS → R，那么市场必须满足一价定律。换句话说，满足一个价格规律的市场相当于线性定价规则的存在。
 
 
 
 6资产定价的基本定理
 
 
 
 基本资产定价定理的内容是市场满足完全无套利机会假设，这相当于定价函数是正线性函数，即所谓的“正线性定价规则”。
 
 
 
 第二阶段有限状态市场模型下资产定价的基本定理表达如下:
 
 市场(MS，θK，X)满足完全无套利机会假设，这相当于正线性定价函数p: ms → r的存在，即正实数λ1，λ2的存在。...，λS > 0，因此:
 
 xi0 = P(Xi)=λ1 x1+λ2 x2+…+λSxiS，i = 1，2，..，k
 
 y = (y1，y2，...，ys) ∈ ms，有:
 
 P(y) = λ1y1 + λ2y2 + … + λsys
 
 当(MS，θK，X)是一个完整的市场时，这样的正线性定价函数p是唯一的。
 
 这个定理的充分性可以很容易地推导出来，而必要性的证明需要一个深刻的数学定理——凸集分离定理。凸集分离定理的内容是，在一定条件下，在超平面的两侧必须有一个超平面来划分两个不相交的凸集。这个定理在二维平面上很容易理解，如下图所示:
 
 金融资产定价理论系列(一):无套利假设和线性定价规则
 二维空间中的超平面是直线，两个不相交的凸集A和B当然可以被直线L分成两边
 
 
 
 利用凸集分离定理，我们证明了上述基本资产定价定理。
 
 
 
 回顾过去，韩国基础资产的当前价格是x10，x20，...，分别为xK0。让我们记住X0 = (X10，X20，...，XK0)t；k基础资产的未来价值为Xi = (xi1，xi2，...，xis) t (I = 1，2，...，k)，补偿矩阵X = (x1，x2，...，xK)，x是一个s×k矩阵，它的s行向量是x(1)，x(2)，...，x(S)，即x = (x (1) t，x (2) t，...，x (s) t) t。
 
 
 
 完全无套利机会可以表达如下:没有策略θ = (θ1，θ2，...，θK)T ∈ θK，因此V0(θ) = x0Tθ ≤ 0，V1(θ) = Xθ ≥ 0，其中V0(θ)和V1(θ)不同时为零，它们以不等式组的形式写入，即:
 
 -x0Tθ = - θ1x10 - θ2x20 - … - θKxK0 ≥ 0
 
 x(1)Tθ = θ1x11 + θ2x21 + … + θKxK1 ≥ 0
 
 ……
 
 x(S)Tθ = θ1x1S + θ2x2S + … + θKxKS ≥ 0
 
 这是真的，但它不会同时带等号。
 
 
 
 考虑在RS+1中构造两个凸集:
 
 A={y∈RS+1|y=(-x0Tθ，x(1)Tθ，...,x(K)Tθ)T,∃θ∈θK}
 
 B={z∈RS+1|z=(z0，z1，z2，...，zS )T>0，zi = 1 }
 
 
 
 凸集A是由所有投资策略θ ∈ θK形成的投资组合的“当前”和“未来”可能现金流，是RS+1的线性子空间；凸集B代表所有S+1维非零向量，其分量是非负的，并且其分量之和是1。
 
 
 
 如果市场上没有套利机会，那么a股和b股就不会交叉。这是因为如果甲和乙相交，就意味着θ ∈ θK存在，所以-x0Tθ ≥ 0，x(1)Tθ ≥ 0，...，x(K)Tθ ≥ 0，等号不同时成立，因此市场上存在套利机会。因此，根据凸集(强)分离定理，存在非零向量μ = (μ0，μ1，μ2，...，μS)T ∈ RS+1，因此对于∀y ∈ A、∀z ∈ B，有:
 
 μTz > μTy
 
 
 
 因为α是RS+1的线性子空间，所以上式右端的μTy可视为α上的线性函数f: f(y) = μ ty，要保持不等式，f(y)必须恒定等于零，否则其值可以无限增加。因此，我们有μTy = 0，即θ∈ θ k，我们有
 
 -μ0x0Tθ + μ1x1Tθ + … + μSxSTθ = 0。
 
 
 
 因此有:
 
 -μ0x0+ μ1x1+ … + μSxS = 0
 
 以z为单位向量，只有一个分量1，所有其他分量0，那么每个μi > 0 (i=0，1，...S)可以从μTz > 0得知，如果λi = μi/μ0 (i=1，...，则每个λi > 0由以下公式给出:
 
 x0 = λ1x1 + λ2x2 + … + λSxS
 
 
 
 也就是说，我们获得了k项基础资产的定价函数:
 
 p(Xi)= xi0 =λ1 x1+λ2 x2+…+λSxiS，i=1，2，..，k
 
 
 
 因此，对于y = θ 1x1+θ 2x2+…+θ kxk ∈ x (θ k)，可以定义:
 
 P(y) = P(θ1x1 + θ2x2 + … + θKxK)
 
 = θ1x10 + θ2x20 + … + θKxK0
 
 
 
 最后，通过将X(θK)上的定价函数p推广到市场或有索赔空间，我们得到了市场或有索赔空间上的定价函数p:
 
 P(y) = λ1y1 + λ2y2 + … + λsys。
 
 ∀y = (y1，y2，...，ys) ∈ MS
 
 其中λ1，λ2，...，λS > 0。
 
 
 
 显然，这个定价函数P是一个正线性函数，它满足:
 
 y，z ∈ ms，α，β ∈ r，p (α y+β z) = α p (y)+β p (z)(线性)
 
 Y ∈ ms，如果y > 0，则P(y) > 0(正)
 
 
 
 到目前为止，我们已经证明了第二阶段有限状态模型下的基本资产定价定理:市场无套利机会相当于正线性定价规则的存在。
 
 
 
 接下来，让我们看看正线性定价规则的另一个含义。
 
 
 
 对于两阶段有限状态模型，我们可以将无风险资产的未来价值定义为常数向量1 = (1，1...，1)，其当前价格为p (1) = λ 1+λ 2+...+λ s = σ λ I，因此无风险回报率RF = 1/p (1) = 1/σ λ I
 
 
 
 定义qi = λ I/σ λ I (I = 1，...，s)，那么每个qi > 0，qi = 1，所以q = (q1，q2，...，qS)可以被视为概率分布。所以，对于y = (y1，y2，...，ys) ∈ ms，有:
 
 P(y) = λ1y1 + λ2y2 + … + λsys
 
 =(qy1+qy2+…+qSyS)/RF = Eq[y/RF
 
 这里，方程[y]代表在概率测度q下y的数学期望
 
 
 
 上式表明，根据无风险利率，在一定的概率测度下，资产的当前价值等于其未来价值的数学期望的折扣。如果扩展到多周期或连续时间模型，资产本身的现值也是随机变量，这里的数学期望被推广到条件数学期望，因此资产的贴现价格过程是鞅过程，这是资产定价基本定理的另一个含义。
 
 
 
 7结论
 
 不同于一般商品的一般均衡定价理论，金融资产定价是一种基于假设市场上没有套利机会的相对定价理论。在这样的理论框架下，资产定价问题最终被抽象为:在有限或无限维的线性空间与实数之间建立一定的对应函数关系，这种函数关系就是定价规则。如果市场满足一个价格定律，那么相应的定价函数就是一个线性函数，这就是所谓的线性定价规则。但是，如果市场满足完全无套利假设，这个线性函数就是正线性函数，这是基本资产定价定理的核心内容。本文基于第二阶段有限状态市场模型，详细讨论了资产定价理论。
 
 
 
 
 
 

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